Soit \(P\) un tel polynôme. \(-2\) est racine de \(P+10\) d’ordre au moins trois et donc racine de \((P+10)'= P'\) d’ordre au moins deux.

De même, \(2\) est racine de \(P'\) d’ordre au moins deux et puisque \(P'\) est de degré \(4\), il existe un complexe \(\lambda\) tel que \(P'=\lambda(X-2)^2(X+2)^2=\lambda(X^2-4)^2=\lambda(X^4-8X^2+16)\) et enfin, nécessairement,

\[\exists(\lambda,\mu)\in\Cc^2/\;P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu\;\mbox{avec}\;\lambda\neq0.\]

Réciproquement, soit \(P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu\) avec \(\lambda\neq0\).

\[\begin{align*}\ensuremath P\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow P+10\;\mbox{divisible par}\;(X+2)^3\;\mbox{et}\;P-10\;\mbox{est divisible par}\;(X-2)^3\\ &\Leftrightarrow P(-2)+10=0=P'(-2)=P''(-2)\;\mbox{et}\;P(2)+10=0=P'(2)=P''(2)\Leftrightarrow P(-2)=-10\;\mbox{et}\;P(2)=10\\ &\left\{ \begin{array}{l} \lambda(-\frac{32}{5}+\frac{64}{3}-32)+\mu=-10\\ \lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10\\ &\Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda=\frac{75}{128} \end{align*}\]

On trouve un et un seul polynôme solution à savoir \(P=\frac{75}{128}(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)=\frac{15}{128}X^5-\frac{25}{16}X^3+\frac{75}{8}X\).

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