Soit $P$ un tel polynôme. $-2$ est racine de $P+10$ d’ordre au moins trois et donc racine de $(P+10)'= P'$ d’ordre au moins deux.

De même, $2$ est racine de $P'$ d’ordre au moins deux et puisque $P'$ est de degré $4$ , il existe un complexe $\lambda$ tel que $P'=\lambda(X-2)^2(X+2)^2=\lambda(X^2-4)^2=\lambda(X^4-8X^2+16)$ et enfin, nécessairement,

$\exists(\lambda,\mu)\in\Cc^2/\;P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu\;\mbox{avec}\;\lambda\neq0.$

Réciproquement, soit $P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu$ avec $\lambda\neq0$ .

$\begin{align*}\ensuremath P\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow P+10\;\mbox{divisible par}\;(X+2)^3\;\mbox{et}\;P-10\;\mbox{est divisible par}\;(X-2)^3\\ &\Leftrightarrow P(-2)+10=0=P'(-2)=P''(-2)\;\mbox{et}\;P(2)+10=0=P'(2)=P''(2)\Leftrightarrow P(-2)=-10\;\mbox{et}\;P(2)=10\\ &\left\{ \begin{array}{l} \lambda(-\frac{32}{5}+\frac{64}{3}-32)+\mu=-10\\ \lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10\\ &\Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda=\frac{75}{128} \end{align*}$

On trouve un et un seul polynôme solution à savoir $P=\frac{75}{128}(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)=\frac{15}{128}X^5-\frac{25}{16}X^3+\frac{75}{8}X$ .

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