Soit $x\in\R$ ; $x$ est une racine multiple de $P$ si et seulement si $P(x)=0$ et $P'(x)=0$ : $\begin{array}{rcl} P(x)=P'(x) 0 &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)^7-x^7-a=0\\7(x+1)^6-7x^6=0\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)x^6-x^7-a=0\qquad \text{ en utilisant la deuxième équation}\\(x+1)^6=x^6\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\(x+1)^3=\pm x^3 \qquad \text{ en prenant la racine carrée} \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\x+1=\pm x \qquad \text{ en prenant la racine cubique} \end{array}\right.\\ \end{array}$ qui admet une solution ( $x=-\frac{1}{2}$ ) si et seulement si $a=\frac{1}{64}$ .

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