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Soit $G$ un groupe, $a$ et $b$ deux éléments d’ordre fini qui commutent. On suppose que les sous-groupes engendrés $\langle a\rangle$ et $\langle b\rangle$ ont une intersection réduite au singleton élément neutre $\{e\}$.

Montrer qu’une égalité $(ab)^m=e$ implique $a^m=e$ et $b^m=e$.

Calculer l’ordre de $ab$.

Montrer que si deux éléments d’un groupe ont des ordres premiers entre eux, l’intersection des sous-groupes qu’ils engendrent est réduite au singleton élément neutre.

Montrer que tout groupe abélien d’ordre $77$ est cyclique.