Soit, pour \(x\in[0,1]\), \(g(x)=f(x)-x\). g est continue sur \([0,1]\) et \[\int_{0}^{1}g(x)\;dx=\int_{0}^{1}f(x)\;dx-\int_{0}^{1}x\;dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.\]

Si \(g\) est de signe constant, \(g\) étant de plus continue sur \([0,1]\) et d’intégrale nulle sur \([0,1]\), on sait que \(g\) est nulle. Sinon, \(g\) change de signe sur \([0,1]\) et le théorème des valeurs intermédiaires montre que \(g\) s’annule au moins une fois. Dans tous les cas, \(g\) s’annule au moins une fois sur \([0,1]\) ou encore, \(f\) admet au moins un point fixe dans \([0,1]\).

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