On a $\frac{\partial v}{\partial x}\equiv 0$ et $\frac{\partial v}{\partial y}\equiv 0$ sur $\R^2$ . Au point $(0,0)\in \R^2$ on a $\lim_{x\to 0}\frac{u(x,0)-u(0,0)}{x}\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0$ et $\lim_{y\to 0}\frac{u(0,y)-u(0,0)}{x}\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0.$ Donc $u$ est dérivable par rapport à la première et à la seconde variable en $(0,0)$ et de plus $\frac{\partial u}{\partial x}(0,0)=0$ et $\frac{\partial u}{\partial y}(0,0)=0$ . En particulier $f$ vérifie les équations de Cauchy-Riemann. La fonction $f$ n’est pas $\C$ -dérivable en $0$ car pour $h\in \R_+^*$ on a $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$ et $\frac{f(h+ih)-f(0)}{h+ih}=\frac{\sqrt{|h^2|}}{h+ih}=\frac{h}{h+ih}=\frac{1}{1+i}.$ Les deux quantités n’ont pas la même limite lorsque $h\to 0$ . Ce n’est pas une contradiction avec le théorème de Cauchy-Riemann car la fonction $u$ (et donc la fonction $f$ ) n’est pas différentiable en $(0,0)$ . En effet si $u$ était différentiable en $(0,0)$ on aurait $\begin{align*} u(s,t) & = u(0,0)+du_{(0,0)}(s,t)+o(\|(s,t)\|)\\ & = \frac{\partial u}{\partial x}(0,0)+t\frac{\partial u}{\partial x}(0,0)+o(\|(s,t)\|) \\ & = o(\|(s,t)\|). \end{align*}$ Or $u(s,s)=|s|$ qui n’est pas un $o(\|(s,s)\|)$ d’où une contradiction.

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