On a \(\frac{\partial v}{\partial x}\equiv 0\) et \(\frac{\partial v}{\partial y}\equiv 0\) sur \(\R^2\). Au point \((0,0)\in \R^2\) on a \[\lim_{x\to 0}\frac{u(x,0)-u(0,0)}{x}\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0\] et \[\lim_{y\to 0}\frac{u(0,y)-u(0,0)}{x}\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0.\] Donc \(u\) est dérivable par rapport à la première et à la seconde variable en \((0,0)\) et de plus \(\frac{\partial u}{\partial x}(0,0)=0\) et \(\frac{\partial u}{\partial y}(0,0)=0\). En particulier \(f\) vérifie les équations de Cauchy-Riemann. La fonction \(f\) n’est pas \(\C\)-dérivable en \(0\) car pour \(h\in \R_+^*\) on a \[\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0\] et \[\frac{f(h+ih)-f(0)}{h+ih}=\frac{\sqrt{|h^2|}}{h+ih}=\frac{h}{h+ih}=\frac{1}{1+i}.\] Les deux quantités n’ont pas la même limite lorsque \(h\to 0\). Ce n’est pas une contradiction avec le théorème de Cauchy-Riemann car la fonction \(u\) (et donc la fonction \(f\)) n’est pas différentiable en \((0,0)\). En effet si \(u\) était différentiable en \((0,0)\) on aurait \[\begin{align*} u(s,t) & = u(0,0)+du_{(0,0)}(s,t)+o(\|(s,t)\|)\\ & = \frac{\partial u}{\partial x}(0,0)+t\frac{\partial u}{\partial x}(0,0)+o(\|(s,t)\|) \\ & = o(\|(s,t)\|). \end{align*}\] Or \(u(s,s)=|s|\) qui n’est pas un \(o(\|(s,s)\|)\) d’où une contradiction.

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