exo7 2793

On se donne une fonction $f$ qui est $n+1$-fois dérivable au sens complexe sur le disque ouvert $D(0,R)$ (on sait qu’une fois suffit mais on ne va pas utiliser ce théorème difficile ici). Soit $z\in D(0,R)$. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral de Lagrange à la fonction de la variable réelle $t\mapsto g(t) = f(tz)$ pour $0\leq t\leq 1$, prouver: $$f(z) = f(0) + f'(0) z + \frac{f^{(2)}(0)}2 z^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n + z^{n+1}\int_0^1 \frac{(1-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(tz)\,dt$$

On suppose que $f$ est dérivable au sens complexe une fois sur $D(0,R)$ et vérifie $f'=f$ et $f(0) = 1$. Montrer que $f$ est infiniment dérivable au sens complexe. En utilisant la question précédente montrer : $$\left| f(z) - \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}\right| \leq (\sup_{|w|\leq |z|} |f(w)|) \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}$$ et en déduire que, pour tout $z\in \Cc$ on a : $f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$.

Réciproquement on considère la fonction $F(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$. Vérifier que le rayon de convergence est infini. Établir par un calcul direct que $F'(0)$ existe et vaut $1$. En utilisant le théorème sur les séries doubles, montrer $F(z+w) = F(z)F(w)$. En déduire ensuite que $F$ est holomorphe sur $\Cc$ et vérifie $F' = F$.