Cet exercice propose une variante pour développer la théorie de la fonction exponentielle.
On se donne une fonction \(f\) qui est \(n+1\)-fois dérivable au sens complexe sur le disque ouvert \(D(0,R)\) (on sait qu’une fois suffit mais on ne va pas utiliser ce théorème difficile ici). Soit \(z\in D(0,R)\). En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral de Lagrange à la fonction de la variable réelle \(t\mapsto g(t) = f(tz)\) pour \(0\leq t\leq 1\), prouver: \[f(z) = f(0) + f'(0) z + \frac{f^{(2)}(0)}2 z^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n + z^{n+1}\int_0^1 \frac{(1-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(tz)\,dt\]
On suppose que \(f\) est dérivable au sens complexe une fois sur \(D(0,R)\) et vérifie \(f'=f\) et \(f(0) = 1\). Montrer que \(f\) est infiniment dérivable au sens complexe. En utilisant la question précédente montrer : \[\left| f(z) - \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}\right| \leq (\sup_{|w|\leq |z|} |f(w)|) \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}\] et en déduire que, pour tout \(z\in \Cc\) on a : \(f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}\).
Réciproquement on considère la fonction \(F(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}\). Vérifier que le rayon de convergence est infini. Établir par un calcul direct que \(F'(0)\) existe et vaut \(1\). En utilisant le théorème sur les séries doubles, montrer \(F(z+w) = F(z)F(w)\). En déduire ensuite que \(F\) est holomorphe sur \(\Cc\) et vérifie \(F' = F\).