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Pour toute matrice carrée $A$ de dimension $n$ , on appelle trace de $A$ , et l’on note $\textrm{tr}\, A$ , la somme des éléments diagonaux de $A$ : $\textrm{tr}\, A = \sum_{i = 1}^n a_{i,i}$

Montrer que si $A, B$ sont deux matrices carrées d’ordre $n$ , alors $\textrm{tr}(AB)=\textrm{tr} (BA)$ .

Montrer que si $f$ est un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ , $M$ sa matrice par rapport à une base $e$ , $M'$ sa matrice par rapport à une base $e'$ , alors $\textrm{tr}\, M = \textrm{tr}\, M'$ . On note $\textrm{tr}\, f$ la valeur commune de ces quantités.

Montrer que si $g$ est un autre endomorphisme de $E$ , $\textrm{tr}(f\circ g - g\circ f) = 0$ .

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