Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de \(A\), et l’on note \(\textrm{tr}\, A\), la somme des éléments diagonaux de \(A\) : \[\textrm{tr}\, A = \sum_{i = 1}^n a_{i,i}\]
1
Montrer que si \(A, B\) sont deux matrices carrées d’ordre \(n\), alors \(\textrm{tr}(AB)=\textrm{tr} (BA)\).
2
Montrer que si \(f\) est un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), \(M\) sa matrice par rapport à une base \(e\), \(M'\) sa matrice par rapport à une base \(e'\), alors \(\textrm{tr}\, M = \textrm{tr}\, M'\). On note \(\textrm{tr}\, f\) la valeur commune de ces quantités.
3
Montrer que si \(g\) est un autre endomorphisme de \(E\), \(\textrm{tr}(f\circ g - g\circ f) = 0\).