L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 5 questions

exo7 4796

Soit E=R[X]E = \R[X]. Pour P∈EP \in E, on pose : {N1(P)=sup⁡(∣P(t)∣ tq 0≤t≤1)N2(P)=sup⁡(∣P(t)∣ tq 1≤t≤2)φ(P)=P(0).\begin{cases} N_1(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 0 \le t \le 1 )\cr N_2(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 1 \le t \le 2 )\cr \varphi(P) = P(0). \cr \end{cases}

1

Vérifier que N1N_1 et N2N_2 sont des normes.

2

Montrer que φ\varphi est continue pour N1N_1.

3

Montrer que φ\varphi est discontinue pour N2N_2. (Considérer Pn(t)=(1−t/2)nP_n(t) = (1-t/2)^n)

4

N1N_1 et N2N_2 sont-elles équivalentes ?

5

Soit O={P∈E tq P(0)≠0}{\cal O} = \{ P \in E \text{ tq } P(0) \ne 0 \}. Montrer que O\cal O est ouvert pour N1N_1 mais pas pour N2N_2.

Exercice yPIx

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?