Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : \(\begin{cases} N_1(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 0 \le t \le 1 )\cr N_2(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 1 \le t \le 2 )\cr \varphi(P) = P(0). \cr \end{cases}\)
1
Vérifier que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes.
2
Montrer que \(\varphi\) est continue pour \(N_1\).
3
Montrer que \(\varphi\) est discontinue pour \(N_2\). (Considérer \(P_n(t) = (1-t/2)^n\))
4
\(N_1\) et \(N_2\) sont-elles équivalentes ?
5
Soit \({\cal O} = \{ P \in E \text{ tq } P(0) \ne 0 \}\). Montrer que \(\cal O\) est ouvert pour \(N_1\) mais pas pour \(N_2\).