1
Vérifier que le polynôme \(B(X)=X^2-X+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}[X]\). Effectuer la division euclidienne du polynôme \(A(X)=X^3+2 X-1\) par le polynôme \(B(X)\), et en déduire les coefficients \(a, b, c\) et \(d\) de la décomposition en éléments simples de : \[F(X)=\frac{A(X)}{(B(X))^2}=\frac{X^3+2 X-1}{\left(X^2-X+1\right)^2}=\frac{a X+b}{\left(X^2-X+1\right)^2}+\frac{c X+d}{X^2-X+1}\]
2
En s’inspirant de la question précédent, décomposer en éléments simples sur \(\mathbb{R}(X)\) : \[F(X)=\frac{-3 X^2+X-3}{\left(X^2+1\right)^8}\]