Pour tout entier naturel non nul, $|a_n|\leqslant\frac{1}{n}$ et donc $R\geqslant1$ . Mais si $x > 1$ , la suite $\left(\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\right)_{n\geqslant1}$ n’est pas bornée comme on le voit en considérant la suite extraite des termes d’indices multiples de $3$ et donc $R = 1$ . Pour $x$ dans $]-1,1[$ , $f(x)=\text{Re}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(jx)^n}{n}\right)$ . Le problème est alors de ne pouvoir écrire $-\ln(1-jx)$ . Il faut s’y prendre autrement.

$f$ est donc dérivable sur $]-1,1[$ et pour $x$ dans $]-1;1[$ ,

$f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^{n-1}=\text{Re}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}j^nx^{n-1}\right) =\text{Re}\left(\frac{j}{1-jx}\right)=\text{Re}\left(\frac{j(1-j^2x)}{x^2+x+1}\right) = -\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^2+x+1}$ .

Par suite, pour $x\in]-1,1[$ , $f(x) = f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)\;dt= -\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)$ .

$\forall x\in]-1,1[$ , $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^{n}=-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)$ .

exo7 5752