Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et \(f\not= 0 .\)
1
Montrer que \(\hbox{Ker}(f)\cap \hbox{Ker}(f^2+I) =\{ 0\} ,\) \(\hbox{Ker}(f)\not= \{ 0\}\) et \(\hbox{Ker}(f^2+I)\not= \{ 0\}.\)
2
Soit \(x\) un élément distinct de \(0\) de \(\hbox{Ker}(f^2+I) .\) Montrer qu’il n’existe pas \(\alpha \in \R\) tel que \(f(x)=\alpha x .\) En déduire que \(\{ x, f(x)\}\) est libre.
3
Calculer \(\hbox{dim}(\hbox{Ker}(f))\) et \(\hbox{dim}(\hbox{Ker}(f^2+I)) .\)
4
Déterminer une base \(\epsilon\) de \(\R ^3\) telle que : \(\hbox{Mat}(f, \epsilon )=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr 0 & 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .\)