Un treillis est un ensemble ordonné \(E\) dans lequel pour tous \(x,y \in E,\ \sup(x,y)\) et \(\inf(x,y)\) existent. Soit \(E\) un treillis.
1
Montrer que \(\sup\) et \(\inf\) sont des opérations associatives.
2
A quelle condition ont-elles des éléments neutres ?
3
Montrer que : \[\begin{align*} &\forall\ x,y \in E,& &\sup\bigl(x,\inf(x,y)\bigr) = \inf\bigl(x,\sup(x,y)\bigr) = x,\\ &\forall\ x,y,z \in E,& &x \le z \Rightarrow \sup\bigl(x,\inf(y,z)\bigr) \le \inf\bigl(\sup(x,y),z\bigr),\\ &\forall\ x,y,z \in E,& &\inf\bigl(x,\sup(y,z)\bigr) \ge \sup\bigl(\inf(x,y),\inf(x,z)\bigr). \end{align*}\]