Soit \(d=\pgcd(m,n)\). Notons \(n=dn'\) et \(m=dm'\). Alors \(X^{n}-1=(X^{d})^{n'}-1\). Or \((Y-1)|Y^{n'}-1\) donc \((X^{d}-1)|(X^{n}-1)\). De même, \((X^{d}-1)|(X^{m}-1)\), et donc \((X^{d}-1)|\pgcd(X^{n}-1,X^{m}-1)\).

Par ailleurs, soit \(D=\pgcd(X^{n}-1,X^{m}-1)\). Les racines de \(D\) dans \(\Cc\) sont des racines à la fois n-iéme et m-ième de \(1\), qui sont touts simples : elles sont donc de la forme \(\omega=e^{i2\pi\alpha}\) où \(\alpha=\frac{k}{n}=\frac{k'}{m}\). Ainsi \(km'=k'n'\). On a \(\pgcd(m',n')=1\), donc par le théorème de Gauss, on en déduit que \(k'\) est un multiple de \(m'\), soit \(\frac{k'}{m}=\frac{k''}{d}\), et \(\omega\) est donc une racine \(d\)-ième de 1. On en déduit que \(D|X^{d}-1\), et finalement : \[\pgcd(X^{n}-1,X^{m}-1)=X^{\pgcd(m,n)}-1.\]

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