L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 1410

Soit GG un groupe d’ordre 2n2n et HH un sous-groupe de GG d’ordre nn (HH est donc d’indice deux dans GG).

1

Montrer que si g∈Gg \in G et g∉H,g\not \in H , on a H∩gH=∅H\cap gH=\emptyset puis que G=H∪gH.G=H\cup gH .

2

En déduire que pour tout g∈G,g2∈H.g \in G , g^2\in H .

3

On suppose désormais G=A4G=\mathcal{A} _4 le groupe des permutations paires de l’ensemble {1,2,3,4}.\{1,2,3,4 \} . Soit σ=(a,b,c)\sigma =(a,b,c) un 33-cycle. Montrer que σ\sigma peut s’écrire comme le carré d’une permutation paire c’est à dire qu’il existe φ∈A4\varphi \in \mathcal{A}_4 telle que φ2=σ.\varphi ^2=\sigma . En déduire que A4\mathcal{A} _4 ne possède pas de sous-groupe d’ordre 6.6 .

Exercice zgZv

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