Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un sous-groupe de \(G\) d’ordre \(n\) (\(H\) est donc d’indice deux dans \(G\)).
1
Montrer que si \(g \in G\) et \(g\not \in H ,\) on a \(H\cap gH=\emptyset\) puis que \(G=H\cup gH .\)
2
En déduire que pour tout \(g \in G , g^2\in H .\)
3
On suppose désormais \(G=\mathcal{A} _4\) le groupe des permutations paires de l’ensemble \(\{1,2,3,4 \} .\) Soit \(\sigma =(a,b,c)\) un \(3\)-cycle. Montrer que \(\sigma\) peut s’écrire comme le carré d’une permutation paire c’est à dire qu’il existe \(\varphi \in \mathcal{A}_4\) telle que \(\varphi ^2=\sigma .\) En déduire que \(\mathcal{A} _4\) ne possède pas de sous-groupe d’ordre \(6 .\)