On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par \[f\left(\left({x\atop y}\right),\left({x'\atop y'}\right)\right) =x^t\ y'-y^t\ x'\] où \(x,y,x',y'\) sont dans \(\Rr^n\).
En décomposant par bloc \(n\times n\) une matrique quelconque \(g\) de \(M_{2n}(\Rr)\) sous la forme \(\left({AB\atop CD}\right)\), caractériser les matrices symplectiques en termes de systèmes d’équation pour \(A,B,C,D\).
Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant de plus \(B=C=0\).
Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant \(A=D=I_n\) et \(C=0\).
Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant \(C=0\).
Déterminer toutes les matrices \(Q\) de \(M_{n}(\Rr)\) telles que l’espace \(W_Q:=\left\{ \left({Qy\atop y}\right)/ y\in \Rr^n\right\}\) soit totalement isotrope. Quel est le lien avec les questions précédentes ?