On pose, sous réserve de convergence, $f(t) = \sum_{n=1}^\infty z_nt^n$ . Alors : $f(t) =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_j\sum_{n=p+1}^\infty z_{n-j}t^n =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigl(f(t)-\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n\Bigr)$ soit : $\Bigl(1-\sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigr)f(t) = P(t)f(t) = \sum_{n=1}^p z_nt^n - \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n =Q(t),$ donc $f(t) = Q(t)/P(t)$ . Réciproquement, soit $Q(t)/P(t) = \sum_{n=1}^\infty a_nt^n$ : en remontant les calculs précédents on voit que $(a_n)$ vérifie la même relation de récurrence que $(z_n)$ avec les mêmes premiers termes d’où $z_n = a_n$ pour tout $n$ .

Si $|t|< 1$ alors $\Bigl|\sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigr|< 1$ donc $P$ n’a pas de racine dans le disque unité ouvert. Si $P$ n’a pas non plus de racine sur le cercle unité alors le développement en série entière de $Q(t)/P(t)$ a un rayon $>1$ et $z_n\to0$ lorsque $n\to\infty$ . Si $P$ admet des racines dans $\mathbb{U}$ on peut déja dire que la suite $(z_n)$ est bornée par $\max(|z_1|,\dots,|z_p|)$ puis… ?

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