On pose, sous réserve de convergence, \(f(t) = \sum_{n=1}^\infty z_nt^n\). Alors : \[f(t) =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_j\sum_{n=p+1}^\infty z_{n-j}t^n =\sum_{n=1}^p z_nt^n + \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigl(f(t)-\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n\Bigr)\] soit : \[\Bigl(1-\sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigr)f(t) = P(t)f(t) = \sum_{n=1}^p z_nt^n - \sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\sum_{n=1}^{p-j} z_nt^n =Q(t),\] donc \(f(t) = Q(t)/P(t)\). Réciproquement, soit \(Q(t)/P(t) = \sum_{n=1}^\infty a_nt^n\) : en remontant les calculs précédents on voit que \((a_n)\) vérifie la même relation de récurrence que \((z_n)\) avec les mêmes premiers termes d’où \(z_n = a_n\) pour tout \(n\).

Si \(|t|< 1\) alors \(\Bigl|\sum_{j=1}^pe^{i\omega}p_jt^j\Bigr|< 1\) donc \(P\) n’a pas de racine dans le disque unité ouvert. Si \(P\) n’a pas non plus de racine sur le cercle unité alors le développement en série entière de \(Q(t)/P(t)\) a un rayon \(>1\) et \(z_n\to0\) lorsque \(n\to\infty\). Si \(P\) admet des racines dans \(\mathbb{U}\) on peut déja dire que la suite \((z_n)\) est bornée par \(\max(|z_1|,\dots,|z_p|)\) puis… ?

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