Programme de mathématiques MP, MPI
a) Ensembles dénombrables
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un ensemble est dit dénombrable s’il est en bijection avec $\mathbb{N}$. | Les parties infinies de $\mathbb{N}$ sont dénombrables. |
Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de $\mathbb{N}$. | Un tel ensemble est dit au plus dénombrable. |
Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable. | Les démonstrations ne sont pas exigibles. Les ensembles $\mathbb{N}^p$ ($p\in\mathbb{N}^*$), $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ sont dénombrables. Le support d’une famille sommable de nombres complexes est dénombrable. |
L’ensemble $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 235
Montrer que \(\Zz\) est dénombrable en utilisant l’application : ...
exo7 3052
Soit \((n_k)\) une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est :
Montrer que les ensembles des suites ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 4487
\(A\) étant un ensemble infini dénombrable, les ensembles suivants sont-ils dénombrables :
exo7 5921
On dit qu’une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est négligeable si, pour to ...
exo7 6141
Montrer que \(\Qq\) n’est pas un \(G_\delta\) c’est-à-dire n’est pas intersection ...