Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces préhilbertiens réels
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La notion de produit scalaire a été étudiée d’un point de vue élémentaire dans l’enseignement secondaire. L’objectif de cette section, qu’il est essentiel d’illustrer par de nombreuses figures, est de la généraliser, afin d’exploiter l’intuition acquise en dimension 2 ou 3 pour résoudre des problèmes posés dans un contexte plus abstrait.
Les familles de polynômes orthogonaux donnent des illustrations pertinentes des notions abordées dans cette section.
- a) Produit scalaire 109
- b) Norme associée à un produit scalaire 141
- c) Orthogonalité 75
- d) Bases orthonormées 41
- e) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie 66
exo7 7804
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...
exo7 7810
Diagonaliser dans une base orthonormée pour le produit scalaire standard, la forme bilinéaire symétrique sur ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...