Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel \(E\).
1
Soit \(u\in GL(E)\) une involution. Montrer que \(u\) est orthogonale si et seulement si \(E_+(u)=E_+:=Ker (u-Id)\) et \(E_-:=Ker(u+Id)\) sont orthogonaux. Montrer alors que \((E_+)^\perp = E_-\) et que \(E_+\) n’est pas isotrope.
2
Soit \(F\subset E\) un sous-espace non isotrope. Montrer qu’il existe une unique involution orthogonale telle que \(E_+(u)=F\).
3
Montrer que \(O(f)\equiv SO(f)\ltimes \{-1,1\}\).