Le but de cet exercice est d’introduire une topologie sur le groupe linéaire \(GL(E).\) Soit \(A\in GL(E),\) alors on introduit la norme: \[\displaystyle \vert\vert A\vert\vert =\sup_{\vert\vert x\vert\vert=1}\vert\vert Ax\vert\vert\hfill\eqno(1).\] Montrer que les topologies suivantes sur \(GL(E)\) sont équivalentes:
1
\(A_n\to A\) si la suite \(a_{ij}^n\) des coefficients de \(A_n\) converge vers \(a_{ij}.\)
2
\(A_n\to A\) si \(\vert\vert A_n -A\vert\vert \to 0.\)
3
\(A_n\to A\) si l’application \(A_n:x\to A_n(x)\) converge vers l’application \(A(x)\) uniformément sur chaque compact \(K\subset E.\)