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Le but de cet exercice est d’introduire une topologie sur le groupe linéaire $GL(E).$ Soit $A\in GL(E),$ alors on introduit la norme: $\begin{equation}\displaystyle \vert\vert A\vert\vert =\sup_{\vert\vert x\vert\vert=1}\vert\vert Ax\vert\vert\hfill\tag*{$(1).$}\end{equation}$ Montrer que les topologies suivantes sur $GL(E)$ sont équivalentes:

$A_n\to A$ si la suite $a_{ij}^n$ des coefficients de $A_n$ converge vers $a_{ij}.$

$A_n\to A$ si $\vert\vert A_n -A\vert\vert \to 0.$

$A_n\to A$ si l’application $A_n:x\to A_n(x)$ converge vers l’application $A(x)$ uniformément sur chaque compact $K\subset E.$

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