exo7 7896

Montrer que la classe de conjugaison $C$ de $SU(2)$ des matrices de trace nulle (i.e. la latitude $0$) est la sphère unité de l’espace euclidien $(V,\ll~~,\gg)$ des matrices anti-hermitienne de trace nulle.

Montrer que $SU(2)$ agit par conjugaison sur l’espace $V$.

Montrer que cette action est transitive.

En déduire un morphisme de groupes $\phi$ de $SU(2)$ dans le groupe orthogonal de $(V,\ll~~,\gg)$.

Déterminer le noyau de $\phi$.

En utilisant la connexité de $SU(2)$ montrer que l’image de $\phi$ est incluse dans $SO(V)$.

Montrer que l’image par $\phi$ du sous-groupe $D$ des matrices diagonales de $SU(2)$ est le sous-groupe des rotations de $V$ qui fixent $\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}$.

En déduire l’image de $\phi$.