Montrer que la classe de conjugaison \(C\) de \(SU(2)\) des matrices de trace nulle (i.e. la latitude \(0\)) est la sphère unité de l’espace euclidien \((V,\ll~~,\gg)\) des matrices anti-hermitienne de trace nulle.
Montrer que \(SU(2)\) agit par conjugaison sur l’espace \(V\).
Montrer que cette action est transitive.
En déduire un morphisme de groupes \(\phi\) de \(SU(2)\) dans le groupe orthogonal de \((V,\ll~~,\gg)\).
Déterminer le noyau de \(\phi\).
En utilisant la connexité de \(SU(2)\) montrer que l’image de \(\phi\) est incluse dans \(SO(V)\).
Montrer que l’image par \(\phi\) du sous-groupe \(D\) des matrices diagonales de \(SU(2)\) est le sous-groupe des rotations de \(V\) qui fixent \(\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}\).
En déduire l’image de \(\phi\).