Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
f) Variables aléatoires indépendantes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Les variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur l’univers $\Omega$ sont indépendantes si pour tout $A\in\mathscr{P}(X(\Omega))$ et tout $B\in\mathscr{P}(Y(\Omega))$, les événements $(X\in A)$ et $(Y\in B)$ sont indépendants. | Notation $X\perp\!\!\!\perp Y$. Cette condition équivaut au fait que la distribution de probabilités de $(X,Y)$ est donnée par $P\big((X,Y)=(x,y)\big)=P(X=x)P(Y=y)$. |
Extension aux $n$-uplets de variables aléatoires. | Modélisation de $n$ expériences aléatoires indépendantes par une suite finie $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ de variables aléatoires indépendantes. |
Si $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes de loi $\mathscr{B}(p)$, alors $X_1+\dots+X_n$ suit la loi $\mathscr{B}(n,p)$. | Interprétation : nombre de succès lors de la répétition de $n$ expériences indépendantes ayant chacune la probabilité $p$ de succès. |
Si les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $f(X)$ et $g(Y)$ sont indépendantes. | |
Lemme des coalitions : si les variables aléatoires $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes, alors $f(X_1,\dots,X_m)$ et $g(X_{m+1},\dots,X_n)$ le sont aussi. | La démonstration est hors programme. Extension au cas de plus de deux coalitions. |
Couple de variables
Deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contiennent des boules permettant des gains ou des ...
Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Indépendance de variables aléatoires
Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on note ...
Jeu de boules
Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à ...
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes dont la loi de ...
Loi d'un couple
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes ...
Loi d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires discrètes tel que : l’ensemble des valeurs prises par ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
...Répartition des ressources militaires
Un bataillon militaire dispose de deux types de véhicules : des véhicules blindés (notés \(X\)) et des drones de r ...
Simulation et classement sur tableur
Simuler 200 tirages indépendants avec remise d’un élève parmi 13, chaque élève ayant la même probabilité. Représenter la répartition des résultats. ...
Tirage complet d'une urne
Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de ...