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Ce préambule propose une introduction a minima de la dénombrabilité et des familles sommables, afin de poser les bases de vocabulaire, méthodes et résultats qui seront admis, et directement utilisés. Chaque professeur est libre d’en adapter le contenu au niveau de formalisme qu’il juge préférable pour ses étudiants.

Ces notions ne feront l’objet d’aucune évaluation spécifique, et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.

• Un ensemble est dit (au plus) dénombrable s’il est en bijection avec (une partie de) $\mathbb{N}$, c’est-à-dire s’il peut être décrit en extension sous la forme $\{x_i,\ i \in I\}$ où $I = \mathbb{N}$ ($I \subset \mathbb{N}$) avec des $x_i$ distincts.

Sont dénombrables : $\mathbb{Z}$, un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables, une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables. Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

• En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on admet sans soulever de difficulté qu’on sait associer à toute famille au plus dénombrable $(x_i)_{i\in I}$ d’éléments de $[0,+\infty]$ sa somme $\displaystyle \sum_{i\in I} x_i \in [0,+\infty]$, et que pour tout découpage en paquets $\displaystyle I = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n$ de $I$, $\displaystyle \sum_{i\in I} x_i = \sum_{n=0}^{+\infty} \Bigl(\sum_{i\in I_n} x_i\Bigr)$.

La famille $(x_i)_{i\in I}$ d’éléments de $[0,+\infty]$ est dite sommable si $\displaystyle \sum_{i\in I} x_i < \infty$. En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.

• Une famille $(x_i)_{i\in I}$ au plus dénombrable de nombres complexes est dite sommable si $(\lvert x_i\rvert)_{i\in I}$ l’est. Pour $I = \mathbb{N}$, la sommabilité d’une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée. Si $\lvert x_i\rvert \leqslant y_i$ pour tout $i \in I$, la sommabilité de $(y_i)_{i\in I}$ implique celle de $(x_i)_{i\in I}$.

En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes.