Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
d) Ensemble des matrices carrées
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n\geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | Application au calcul de puissances. |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Inverse d’une transposée. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX=Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
Système linéaire avec paramètre et déterminant
Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) un paramètre réel. On considère le système linéaire suivant : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...