On paramètre le cercle \(C_r\) de centre \(0\) et de rayon \(r>0\) orienté dans le sens trigonométrique du plan complexe en définissant pour \(t\in\Rr\), \(\xi(t)\) comme le point d’intersection de la droite d’équation \(y=t(x+r)\) avec le cercle \(C_r\) différent de \(-r\).
1
Montrer que \(\xi(t)=r\frac{1+it}{1-it}\).
2
Vérifier que \(\xi\) est dérivable sur \(\Rr\) et calculer \(\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}\).
3
En déduire que \[\int_{C_r} \frac{dz}{z}=2i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}.\]
4
En déduire que \[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\pi.\]