L3 Analyse complexe Théorème des résidus 4 questions

exo7 7555

On paramètre le cercle CrC_r de centre 00 et de rayon r>0r>0 orienté dans le sens trigonométrique du plan complexe en définissant pour t∈Rt\in\Rr, ξ(t)\xi(t) comme le point d’intersection de la droite d’équation y=t(x+r)y=t(x+r) avec le cercle CrC_r différent de −r-r.

1

Montrer que ξ(t)=r1+it1−it\xi(t)=r\frac{1+it}{1-it}.

2

Vérifier que ξ\xi est dérivable sur R\Rr et calculer ξ′(t)ξ(t)\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}.

3

En déduire que ∫Crdzz=2i∫−∞+∞dt1+t2.\int_{C_r} \frac{dz}{z}=2i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}.

4

En déduire que ∫−∞+∞dt1+t2=π.\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\pi.

Exercice 0IB7

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