1
Soit \(\{g_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite dans \(\mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)\). Montrer que \[\int_{\Omega} \left(\sum_{n=1}^{+\infty} g_{n}\right)\,d\mu = \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\Omega} g_{n} \,d\mu.\]
2
Montrer que \[\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x -1}\,dx = \Gamma(s) \zeta(s),\] où \(\Gamma\) est la fonction d’Euler et où \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}\). (On pourra considérer les fonctions \(g_{n}(x) = x^{s-1} e^{-nx} \mathbf{1}_{[0, +\infty)}\).)