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Soit $\{g_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite dans $\mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)$. Montrer que $$\int_{\Omega} \left(\sum_{n=1}^{+\infty} g_{n}\right)\,d\mu = \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\Omega} g_{n} \,d\mu.$$

Montrer que $$\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x -1}\,dx = \Gamma(s) \zeta(s),$$ où $\Gamma$ est la fonction d’Euler et où $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}$. (On pourra considérer les fonctions $g_{n}(x) = x^{s-1} e^{-nx} \mathbf{1}_{[0, +\infty)}$.)