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Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Si on pose $f_{n} = \frac{1}{n} \mathbf{1}_{[n, +\infty)}$, $n\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone décroissante et converge uniformément vers $0$, mais $$0 = ~\int_{\Omega} f\,d\mu ~\neq~ \lim \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~= +\infty.$$ Est-ce que cela contredit le théorème de convergence monotone ?