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Soit \(\Omega = \mathbb{R}\), \(\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) et \(\mu\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\). Si on pose \(f_{n} = \frac{1}{n} \mathbf{1}_{[n, +\infty)}\), \(n\in\mathbb{N}\), alors la suite \(\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) est monotone décroissante et converge uniformément vers \(0\), mais \[0 = ~\int_{\Omega} f\,d\mu ~\neq~ \lim \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~= +\infty.\] Est-ce que cela contredit le théorème de convergence monotone ?