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Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Si on pose $f_{n} = \mathbf{1}_{[0, n]}$, $n\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone croissante vers $f = \mathbf{1}_{[0, +\infty)}$. Bien que les fonctions $f_{n}$ soient uniformément bornées par $1$ et que les intégrales des $f_{n}$ sont finies, on a : $$\int_{\Omega} f\,d\mu = +\infty.$$ Est-ce que le théorème de convergence monotone s’applique dans ce cas ?