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Soit \(\Omega = \mathbb{R}\), \(\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) et \(\mu\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\). Si on pose \(f_{n} = \mathbf{1}_{[0, n]}\), \(n\in\mathbb{N}\), alors la suite \(\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) est monotone croissante vers \(f = \mathbf{1}_{[0, +\infty)}\). Bien que les fonctions \(f_{n}\) soient uniformément bornées par \(1\) et que les intégrales des \(f_{n}\) sont finies, on a : \[\int_{\Omega} f\,d\mu = +\infty.\] Est-ce que le théorème de convergence monotone s’applique dans ce cas ?