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Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Soit $f_{n} = -\frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0, n]}$, $n\in\mathbb{N}$, et $f = 0$. Montrer que $f_{n}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$ mais que $$\lim \inf_{n\rightarrow+\infty} \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~<~ \int_{\Omega} f\,d\mu.$$ Est-ce que cela contredit le lemme de Fatou ?