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Soit \(\Omega = \mathbb{R}\), \(\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) et \(\mu\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f_{n} = -\frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0, n]}\), \(n\in\mathbb{N}\), et \(f = 0\). Montrer que \(f_{n}\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\) mais que \[\lim \inf_{n\rightarrow+\infty} \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~<~ \int_{\Omega} f\,d\mu.\] Est-ce que cela contredit le lemme de Fatou ?