1
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(u_1,\dots,u_n\) des éléments de \(E\). Calculer \(\sum_\sigma\bigl\|\sum_{i=1}^n\sigma(i)u_i\bigr\|^2\) où \(\sigma\) parcourt l’ensemble des fonctions de \([[1,n]]\) dans \(\{-1,1\}\).
2
On se place dans l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\R\). Montrer que la norme infinie n’est équivalente à aucune norme euclidienne.
3
Même question avec la norme \(\|\ \|_p\), \(p\in{[1,+\infty[}\setminus\{2\}\).