exo7 4771

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $u_1,\dots,u_n$ des éléments de $E$. Calculer $\sum_\sigma\bigl\|\sum_{i=1}^n\sigma(i)u_i\bigr\|^2$ où $\sigma$ parcourt l’ensemble des fonctions de $[[1,n]]$ dans $\{-1,1\}$.

On se place dans l’ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que la norme infinie n’est équivalente à aucune norme euclidienne.

Même question avec la norme $\|\ \|_p$, $p\in{[1,+\infty[}\setminus\{2\}$.