Notons $p$ la projection sur $(P)$ parallèlement à $(\Delta)$ . Déterminons un repère de $(D)$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x-2y-z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=-x+1\\ 2y+z=x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x-1\\ z=-3x+2 \end{array} \right.$

$(D)$ est la droite de repère $(A,\overrightarrow{u})$ où $A(0,-1,2)$ et $\overrightarrow{u}(1,2,-3)$ . $(\Delta)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u'}(1,3,2)$ . $\overrightarrow{u}$ n’est pas colinéaire à $\overrightarrow{u'}$ et donc $(D)$ n’est pas parallèle à $(\Delta)$ . On en déduit que $p(D)$ est une droite. Plus précisément, $p(D)$ est la droite intersection du plan $(P)$ et du plan $(P')$ contenant $(D)$ et parallèle à $(\Delta)$ . Déterminons une équation de $(P')$ . Un repère de $(P')$ est $(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})$ . Donc

$M(x,y,z)\in(P')\Leftrightarrow\left| \begin{array}{ccc} x&1&1\\ y+1&2&3\\ z-2&-3&2 \end{array} \right|=0\Leftrightarrow 13x-5(y+1)+(z-2)=0\Leftrightarrow13x-5y+z=7$ .

Finalement

$p(D)$ est la droite dont un système d’équations cartésiennes est $\left\{ \begin{array}{l} 13x-5y+z=7\\ x+3y+2z=6 \end{array} \right.$

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