Notons \(p\) la projection sur \((P)\) parallèlement à \((\Delta)\). Déterminons un repère de \((D)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x-2y-z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y+z=-x+1\\ 2y+z=x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2x-1\\ z=-3x+2 \end{array} \right.\)

\((D)\) est la droite de repère \((A,\overrightarrow{u})\) où \(A(0,-1,2)\) et \(\overrightarrow{u}(1,2,-3)\). \((\Delta)\) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u'}(1,3,2)\). \(\overrightarrow{u}\) n’est pas colinéaire à \(\overrightarrow{u'}\) et donc \((D)\) n’est pas parallèle à \((\Delta)\). On en déduit que \(p(D)\) est une droite. Plus précisément, \(p(D)\) est la droite intersection du plan \((P)\) et du plan \((P')\) contenant \((D)\) et parallèle à \((\Delta)\). Déterminons une équation de \((P')\). Un repère de \((P')\) est \((A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})\). Donc

\(M(x,y,z)\in(P')\Leftrightarrow\left| \begin{array}{ccc} x&1&1\\ y+1&2&3\\ z-2&-3&2 \end{array} \right|=0\Leftrightarrow 13x-5(y+1)+(z-2)=0\Leftrightarrow13x-5y+z=7\).

Finalement

exo7 5509