L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

Dérivées partielles et règle des chaînes

On considère la fonction ff définie sur R2\mathbb{R}^2 par f(s,t)=s2t+estf(s,t)= s^2t+e^{st} On considère les fonctions uu et vv, définies sur R2\mathbb{R}^2 par: u(x,y)=x2+y et v(x,y)=x−y2u(x,y)=x^2+y \text{ et } v(x,y)=x-y^2 Enfin, on pose z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).

1

Calculer ∂f∂s(s,t)\frac{\partial f}{\partial s}(s,t) et ∂f∂t(s,t)\frac{\partial f}{\partial t}(s,t)

2

Calculer les dérivées partielles ∂u∂x(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y), ∂u∂y(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}(x,y), ∂v∂x(x,y)\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) et ∂v∂y(x,y)\frac{\partial v}{\partial y}(x,y).

3

En appliquant la règle des chaînes, calculer ∂z∂x(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y), ∂z∂y(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y).

Exercice 1PPl

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