Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semaine, elle produit \(x\) kg de type \(A\) et \(y\) kg de type \(B\), le coût total de production (en euros) est modélisé par la fonction \[c(x,y)=10000+50x+60y-0.05xy.\] En pleine capacité, la production hebdomadaire totale ne peut dépasser \(3000\) kg, c’est-à-dire que \[x\geq0,\quad y\geq 0,\quad x+y\leq3000.\] Dans ce modèle, le coût reste toujours positif.
Décrire et représenter graphiquement le domaine de définition \(\mathcal{D}_c\).
Justifier que la fonction \(c\) admet un minimum sur \(\mathcal{D}_c\) et que ce minimum est atteint.
Rechercher les points critiques (minimum ou maximum locaux) à l’intérieur du domaine de définition.
Étudier la fonction \(c\) sur le bord du domaine en substituant une variable en fonction de l’autre.