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Soit \(C\) le cercle unité parcouru dans le sens direct. Calculer \[\int_C \left( z + \frac1z \right)^{n}\frac{dz}z\quad( n\in\Nn)\] en développant par la formule du binôme et en utilisant les valeurs connues de \(\int_C z^k dz\), \(k\in\Zz\). En déduire \(\int_{-\pi}^{+\pi} \cos^{n} t\,dt\). En déduire la valeur de \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t\,dt\) pour \(n\) pair: \[I_m = \int_0^{\frac\pi2} \cos^{2m} t\,dt = \frac{1.3.\cdots.(2m-1)}{2.4.\cdots.(2m)}\frac\pi2\]