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Soit $C$ le cercle unité parcouru dans le sens direct. Calculer $$\int_C \left( z + \frac1z \right)^{n}\frac{dz}z\quad( n\in\Nn)$$ en développant par la formule du binôme et en utilisant les valeurs connues de $\int_C z^k dz$, $k\in\Zz$. En déduire $\int_{-\pi}^{+\pi} \cos^{n} t\,dt$. En déduire la valeur de $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t\,dt$ pour $n$ pair: $$I_m = \int_0^{\frac\pi2} \cos^{2m} t\,dt = \frac{1.3.\cdots.(2m-1)}{2.4.\cdots.(2m)}\frac\pi2$$