exo7 6620

Montrer que la fonction $\exp$ est continue et vérifie :

$\exp(0)=1;\quad \forall a,b\in{\Cc},\ \exp(a+b)=\exp(a).\exp(b).$

On note $e=\exp(1)$ et $f(z)=\exp(z)=e^z$. Etablir les résultats suivants :

$\forall z\in{\Cc},\ e^z\not=0$.

$f'(z)=f(z)$.

$f_{|\Rr}$ est croissante, positive, tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$, tend vers $0$ quand $x\to-\infty$.

Il existe un nombre positif $\pi$ tel que $e^{i{\pi\over2}}=i$ et tel que $e^z=1$ ssi $z\in2i\pi\Zz$.

$f$ est périodique de période $2i\pi$.

$t\to e^{it}$ est une surjection de $\Rr$ sur le cercle unité.

$f({\Cc})= {\Cc}^*$.