Pour tout \(z\in\Cc\), on définit \(\exp(z)=\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}z^n\).
1
Montrer que la fonction \(\exp\) est continue et vérifie :
\(\exp(0)=1;\quad \forall a,b\in{\Cc},\ \exp(a+b)=\exp(a).\exp(b).\)
2
On note \(e=\exp(1)\) et \(f(z)=\exp(z)=e^z\). Etablir les résultats suivants :
3
\(\forall z\in{\Cc},\ e^z\not=0\).
4
\(f'(z)=f(z)\).
5
\(f_{|\Rr}\) est croissante, positive, tend vers \(+\infty\) quand \(x\to+\infty\), tend vers \(0\) quand \(x\to-\infty\).
6
Il existe un nombre positif \(\pi\) tel que \(e^{i{\pi\over2}}=i\) et tel que \(e^z=1\) ssi \(z\in2i\pi\Zz\).
7
\(f\) est périodique de période \(2i\pi\).
8
\(t\to e^{it}\) est une surjection de \(\Rr\) sur le cercle unité.
9
\(f({\Cc})= {\Cc}^*\).