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Définir $f$ sur $\C\setminus \mathopen]-\infty,1]$ au moyen des fonctions $\mathrm{Arg}{(z+1)}$ et $\mathrm{Arg}{(z-1)}$.

Soit $x$ un réel strictement inférieur à 1. Etudier $\lim_{y\to 0} f(x+iy)$ quand $y$ tend vers 0 par valeurs positives puis négatives. Conclure.

Montrer qu’on obtient ainsi une application $f$ telle que $f(U)\subset U$ et $f\circ f=-{\rm Id_{\vert U}}$. En déduire que $f$ est une bijection de $U$ sur lui-même.