On veut démontrer qu’il existe une détermination continue \(f\) de \(\sqrt{1-z^2}\) sur \(U=\C\setminus [-1,1]\) telle que \(f(i)=\sqrt 2\).
1
Définir \(f\) sur \(\C\setminus \mathopen]-\infty,1]\) au moyen des fonctions \(\mathrm{Arg}{(z+1)}\) et \(\mathrm{Arg}{(z-1)}\).
2
Soit \(x\) un réel strictement inférieur à 1. Etudier \(\lim_{y\to 0} f(x+iy)\) quand \(y\) tend vers 0 par valeurs positives puis négatives. Conclure.
3
Montrer qu’on obtient ainsi une application \(f\) telle que \(f(U)\subset U\) et \(f\circ f=-{\rm Id_{\vert U}}\). En déduire que \(f\) est une bijection de \(U\) sur lui-même.