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On peut supposer que $0\notin K$. Pour chaque $n\geq1$, on désigne par $S_n$ l’application définie sur $E$ par

$S_n(x)={1\over n}(x+u(x)+\cdots+u^{n-1}(x))$. Montrer que $S_n(K)\subset K$.

Montrer que pour tous entiers $n_1,n_2,\ldots,n_k$ en nombre fini,

$S_{n_1}\circ\cdots\circ S_{n_k}(K)\subset S_{n_1}(K)\cap S_{n_2}(K)\cap\cdots\cap S_{n_k}(K)$.

En déduire que $A=\cap_{n\geq1} S_{n}(K)$ est non vide.

Montrer que tout $x\in A$ est point fixe de $u$.