Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit \(u\) une application linéaire continue de \(E\) dans \(E\) telle que \(u(K)\subset K\). On va montrer que \(u\) a un point fixe dans \(K\).
1
On peut supposer que \(0\notin K\). Pour chaque \(n\geq1\), on désigne par \(S_n\) l’application définie sur \(E\) par
\(S_n(x)={1\over n}(x+u(x)+\cdots+u^{n-1}(x))\). Montrer que \(S_n(K)\subset K\).
2
Montrer que pour tous entiers \(n_1,n_2,\ldots,n_k\) en nombre fini,
\(S_{n_1}\circ\cdots\circ S_{n_k}(K)\subset S_{n_1}(K)\cap S_{n_2}(K)\cap\cdots\cap S_{n_k}(K)\).
En déduire que \(A=\cap_{n\geq1} S_{n}(K)\) est non vide.
3
Montrer que tout \(x\in A\) est point fixe de \(u\).