Comme $L$ est linéaire il suffit de montrer que $L$ est continue en $0$ . Supposons que cela ne soit pas vrai, alors il faut nier la continuité de $L$ en $0$ qui s’écrit : $\forall \epsilon >0 \qquad \exists \eta >0 \qquad \forall x\in E \qquad(\|x\|<\eta \Rightarrow \|L(x)\|<\epsilon).$ La négation s’écrit alors : $\exists \epsilon >0 \qquad \forall \eta >0 \qquad \exists x \in E \qquad (\|x\|<\eta \ \text{ et }\ \|L(x)\| \ge \epsilon).$ Soit donc un tel $\epsilon >0$ de la négation, pour $\eta$ de la forme $\eta=\frac1n$ , on obtient $y_n$ tel que $\|y_n\|<\frac1n$ et $\|L(y_n)\|\ge \epsilon$ . On pose $x_n = \sqrt n y_n$ , alors $\|x_n\| = \sqrt n \|y_n\| < \frac 1 {\sqrt n}$ donc $(x_n)$ est une suite de $E$ qui tend vers $0$ . Par contre $\| L(x_n) \| = \sqrt n \|L(y_n)\| \ge \epsilon \sqrt n$ , donc la suite $(L(x_n))$ n’est pas bornée. Par contraposition nous avons obtenu le résultat souhaité.

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