Comme \(L\) est linéaire il suffit de montrer que \(L\) est continue en \(0\). Supposons que cela ne soit pas vrai, alors il faut nier la continuité de \(L\) en \(0\) qui s’écrit : \[\forall \epsilon >0 \qquad \exists \eta >0 \qquad \forall x\in E \qquad(\|x\|<\eta \Rightarrow \|L(x)\|<\epsilon).\] La négation s’écrit alors : \[\exists \epsilon >0 \qquad \forall \eta >0 \qquad \exists x \in E \qquad (\|x\|<\eta \ \text{ et }\ \|L(x)\| \ge \epsilon).\] Soit donc un tel \(\epsilon >0\) de la négation, pour \(\eta\) de la forme \(\eta=\frac1n\), on obtient \(y_n\) tel que \(\|y_n\|<\frac1n\) et \(\|L(y_n)\|\ge \epsilon\). On pose \(x_n = \sqrt n y_n\), alors \(\|x_n\| = \sqrt n \|y_n\| < \frac 1 {\sqrt n}\) donc \((x_n)\) est une suite de \(E\) qui tend vers \(0\). Par contre \(\| L(x_n) \| = \sqrt n \|L(y_n)\| \ge \epsilon \sqrt n\), donc la suite \((L(x_n))\) n’est pas bornée. Par contraposition nous avons obtenu le résultat souhaité.

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