Posons \(f=\lim_{n \rightarrow +\infty}P_n\).

Le critère de Cauchy de convergence uniforme (appliqué à \(\varepsilon=1\)) permet d’écrire

\(\exists N\in\Nn/\;\forall n\geqslant N,\;\forall m\geqslant N,\;\forall x\in\Rr,\; |P_n(x) - P_m(x)|\leqslant1\).

Pour \(n\geqslant N\), les polynômes \(P_N-P_n\) sont bornés sur \(\Rr\) et donc constants. Par suite, pour chaque \(n\geqslant N\), il existe \(a_n\in\Rr\) tel que \(P_N-P_n = a_n\)\((*)\). Puisque la suite \((P_n)\) converge simplement sur \(\Rr\), La suite \((a_n)=(P_N(0) - P_n(0))\) converge vers un réel que l’on note \(a\). On fait alors tendre \(n\) tend vers \(+\infty\) dans l’égalité \((*)\) et on obtient

\(f = P_N - a\)

On a montré que \(f\) est un polynôme.

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