Pour $x>0$ , posons $f(x)=\frac{x^2}{e^x-1}$ . $f$ est continue sur $]0,+\infty[$ .

Ensuite, pour tout réel strictement positif $x$ , on a $0<e^{-x}<1$ et donc

$\frac{x^2}{e^x-1}=\frac{x^2e^{-x}}{1-e^{-x}}=x^2e^{-x}\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^2e^{-(n+1)x}=\sum_{n=1}^{+\infty}x^2e^{-nx}$ .

Pour $n\in\Nn^*$ et $x>0$ , posons $f_n(x)=x^2e^{-nx}$ . Chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , est continue et intégrable sur $[0,+\infty[$ car négligeable devant $\frac{1}{x^2}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . En particulier, chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , est intégrable sur $]0,+\infty[$ . De plus, pour $n\in\Nn^*$ ,

$\int_{0}^{+\infty}|f_n(x)|\;dx=\int_{0}^{+\infty}x^2e^{-nx}\;dx=\frac{1}{n^3}\int_{0}^{+\infty}u^2e^{-u}\;du=\frac{\Gamma(3)}{n^3}=\frac{2}{n^3}$ ,

qui est le terme général d’une série numérique convergente.

En résumé,

chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , est continue et intégrable sur $]0,+\infty[$ ,

la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , converge simplement vers la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$ et la fonction $f$

est continue sur $]0,+\infty[$ .

$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(x)|\;dx<+\infty$ .

D’après un théorème d’intégration terme à terme, $f$ est intégrable sur $]0,+\infty[$ , la série numérique de terme général $\int_{0}^{1}f_n(x)\;dx$ , $n\in\Nn^*$ , converge et

$\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(x)\;dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^3}$ .

On a montré que

$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{e^x-1}\;dx=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$ .

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