exo7 1867

Montrer que $d'(x,y)=\sqrt{d(x,y)}$ est une distance sur $E$. Enoncer des conditions suffisantes sur une fonction $f$, définie de $\mathbb{R}_{+}$ dans $\mathbb{R}_{+}$ pour que $(x,y) \longrightarrow f(d(x,y))$ soit une distance sur $E$.

Montrer que l’application $d''$ définie sur $E\times E$ par $d''(x,y)={\displaystyle d(x,y)\over \displaystyle1+d(x,y)}$ est une distance sur $E$. Indication : On utilisera la croissance de la fonction $u \longrightarrow \displaystyle{\frac{u}{1+u}}.$

Comparer les distances $d$ et $d''$ .

Dans le cas où $E$ est l’ensemble des nombres réels et où $d$ est la distance valeur absolue, construire $B_{d''}(0,a)$ où $a$ est un réel.