Soit \((E,d)\) un espace métrique.
1
Montrer que \(d'(x,y)=\sqrt{d(x,y)}\) est une distance sur \(E\). Enoncer des conditions suffisantes sur une fonction \(f\), définie de \(\mathbb{R}_{+}\) dans \(\mathbb{R}_{+}\) pour que \((x,y) \longrightarrow f(d(x,y))\) soit une distance sur \(E\).
2
Montrer que l’application \(d''\) définie sur \(E\times E\) par \(d''(x,y)={\displaystyle d(x,y)\over \displaystyle1+d(x,y)}\) est une distance sur \(E\). Indication : On utilisera la croissance de la fonction \(u \longrightarrow \displaystyle{\frac{u}{1+u}}.\)
3
Comparer les distances \(d\) et \(d''\) .
4
Dans le cas où \(E\) est l’ensemble des nombres réels et où \(d\) est la distance valeur absolue, construire \(B_{d''}(0,a)\) où \(a\) est un réel.