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On rappelle qu’un espace topologique est séparable s’il contient un dénombrable dense. Montrer que dans un espace métrique séparable, toute collection d’ouverts deux à deux disjoints est au plus dénombrable.

Soit $\lambda$ et $\mu$ deux réels distincts. Montrer que $d(e^{i\lambda x}, e^{i\mu x})\geq 2$. En déduire que $E$ n’est pas séparable.