Soit \(E\) l’espace \(C_b(\Rr,C)\) des fonctions continues bornées sur \(\Rr\) muni de la métrique de la convergence uniforme \(d\).
1
On rappelle qu’un espace topologique est séparable s’il contient un dénombrable dense. Montrer que dans un espace métrique séparable, toute collection d’ouverts deux à deux disjoints est au plus dénombrable.
2
Soit \(\lambda\) et \(\mu\) deux réels distincts. Montrer que \(d(e^{i\lambda x}, e^{i\mu x})\geq 2\). En déduire que \(E\) n’est pas séparable.