$J_x$ est un ouvert non vide car c’est une union d’ouverts contenant $x$ . De plus $J_x$ est un intervalle car c’est une union d’intervalles contenant tous le point $x$ . Donc $J_x$ est un intervalle ouvert. On peut donc écrire $\mathcal{O} = \cup_{x\in \mathcal{O}} J_x$ . Mais cette union n’est pas nécessairement dénombrable.

Tout d’abord si $z\in J_x$ alors $J_x=J_z$ . En effet soit $I$ un intervalle inclus dans $\mathcal{O}$ contenant $x$ et $z$ . Si $x'\in J_x$ , soit $J$ un intervalle inclus dans $\mathcal{O}$ contenant $x$ et $x'$ . Alors $I\cup J$ est un intervalle (car $x$ est dans les deux intervalles $I$ et $J$ ), $I\cup J$ est inclus dans $\mathcal{O}$ et contient $x'$ et $z$ . Donc $x'\in J_z$ . Donc $J_x \subset J_z$ . Enfin comme $z\in J_x$ on a aussi $x\in J_z$ , donc on montrerait de même $J_z\subset J_x$ . Donc $J_x=J_z$ .

Pour $x,y \in \mathcal{O}$ alors $J_x=J_y$ ou $J_x \cap J_y = \varnothing$ . En effet supposons que $J_x\cap J_y \neq \varnothing$ et soit $z \in J_x \cap J_y$ . Comme $z\in J_x$ alors $J_x=J_z$ , comme $z\in J_y$ alors $J_y=J_z$ . Donc $J_x=J_y$ .

Pour chaque intervalle ouvert $J_x$ il existe $q \in \Qq \cap J_x$ , avec bien sûr $J_x = J_q$ . Comme $\Qq$ est dénombrable $\mathcal{O}\cap \Qq$ l’est aussi. On a ainsi écrit $\mathcal{O} = \bigcup_{q\in \mathcal{O}\cap \Qq} J_{q},$ ce qui était demandé. Pour $\Rr^n$ on peut montrer le résultat suivant : tout ouvert $\mathcal{O}$ de $\Rr^n$ s’écrit comme l’union dénombrable de boules ouverte. On considére $J_x$ l’union des boules ouvertes de rayon rationnel centrées en $x$ , ensuite on regarde seulement les $x$ appartenant à $\mathcal{O} \cap \Qq^n$ . Par contrer on autorise deux boules à s’intersecter.

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