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Étant admis $\sin(\pi z) = \pi z \prod_{k=1}^\infty \left(1 - \frac{z^2}{k^2}\right)$, prouver: $$\sin(\pi z) = \pi z \lim_{N\to\infty} \prod_{k=-N, k\neq0}^{+N} \frac{z - k}{-k}\;,$$ puis établir pour tout $\alpha\notin\Zz$: $$\sin(\pi (z-\alpha)) = -\sin(\pi\alpha)\lim_{N\to\infty}\prod_{k=-N}^{+N} \left(1 -\frac{z}{\alpha+k}\right)$$ Montrer que le résultat reste valable si l’on remplace dans le produit $-N$ par $-N\pm1$ ou $+N$ par $+N\pm1$. En déduire: $$\cos(\pi z) = \prod_{k=0}^\infty \left(1 -\frac{z^2}{(\frac12 + k)^2}\right)$$ avec un produit absolument convergent.