Série de Fourier de la fonction $x\mapsto |\sin (x/2)|$

Représenter la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2\pi;2\pi]$.

Montrer que, pour tout $x$ réel et pour tout $n\geq 1$: $$\sin (x/2)\cos(nx)=\frac12\left(\sin \left((n+\frac 12)x\right)-\sin \left((n-\frac 12)x\right)\right).$$ On pourra admettre cette formule dans la suite.

Montrer que la fonction $f$ est $2\pi-$périodique et paire.

Calculer les coefficients de Fourier de $f$ et écrire $S(f)$ la série de Fourier de $f$.