Soit \((E,d)\) un espace métrique. On dit que \(d\) est ultramétrique si elle vérifie: \[\forall (x,y,z)\in E^3 \qquad d(x,z) \le \sup \left( d(x,y), d(y,z)\right).\] Cette inégalité entraine évidemment l’inégalité triangulaire.
Montrer que \(E\) muni de la distance \(d\) définie par \[d(x,y) = 1 \ \text{ si }\ x\neq y, \qquad d(x,x)=0\] est un espace ultramétrique.
On suppose maintenant que \((E,d)\) est ultramétrique.
Montrer que si \(d(x,y)\neq d(y,z)\), on a \(d(x,z) = \sup \left( d(x,y), d(y,z)\right)\).
Montrer qu’une boule ouverte (resp. fermée) est une partie à la fois ouverte et fermée.
Montrer que si deux boules ont un point commun l’une est contenue dans l’autre. Montrer de plus que si ces boules ont même rayon et sont toutes les deux des boules ouvertes (resp. fermées) elles sont confondues.
Montrer que si deux boules ouvertes distinctes \(B_1, B_2\) de rayon \(r\) sont contenues dans une boule fermée de même rayon, alors leur distance est égale à \(r\): \[d(B_1,B_2) := \inf_{(a,b)\in B_1\times B_2}d(a,b) = r.\]