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À l’aide de la formule $$f^{(n)}(a) = {n!\over 2i\pi } \int_\Gamma {f(z)\over (z-a)^{n+1}} \,dz$$ où $f$ est méromorphe dans un domaine contenant le contour simple $\Gamma$, et $a$ est un point intérieur à $\Gamma$, montrer que l’on a $$\left(x^n\over n!\right)^2 = {1\over 2i\pi } \int_C {x^n e^{xz}\over n! z^{n+1}} \,dz$$ où $C$ est le cercle unité de $\C$. En déduire que l’on a $$\sum_{n=0}^{+\infty } {x^{2n}\over \left(n!\right)^2} = {1\over 2\pi } \int_0^{2\pi } e^{2x\cos \theta}\,d\theta.$$