1
Une courbe fermée \((C)\) est le support d’un arc paramétré \(\gamma\) de classe \(C^1\) régulier et simple. On note \(\mathcal{L}\) sa longueur et \(\mathcal{A}\) l’aire délimitée par la courbe fermée \((C)\). Montrer que
\(\mathcal{A}\leqslant \frac{\mathcal{L}^2}{4\pi}\).
Pour cela, on supposera tout d’abord \(\mathcal{L}=2\pi\) et on choisira une paramétrisation normale de l’arc. On appliquera ensuite la formule de Parseval aux intégrales permettant de calculer \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{A}\) et on comparera les sommes des séries obtenues.