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Une courbe fermée $(C)$ est le support d’un arc paramétré $\gamma$ de classe $C^1$ régulier et simple. On note $\mathcal{L}$ sa longueur et $\mathcal{A}$ l’aire délimitée par la courbe fermée $(C)$. Montrer que

Pour cela, on supposera tout d’abord $\mathcal{L}=2\pi$ et on choisira une paramétrisation normale de l’arc. On appliquera ensuite la formule de Parseval aux intégrales permettant de calculer $\mathcal{L}$ et $\mathcal{A}$ et on comparera les sommes des séries obtenues.