Soit $n\in\Nn$ .

$\begin{align*} \frac{1}{2\sqrt{n+u_n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}&\Leftrightarrow 2\sqrt{n+u_n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\Leftrightarrow2\sqrt{n+u_n}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\\ &4(n+u_n)=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2\Leftrightarrow u_n=-n+\frac{1}{4}(2n+1+2\sqrt{n(n+1)})\\ &\Leftrightarrow u_n=\frac{1}{4}(-2n+1+2\sqrt{n(n+1)}) \end{align*}$ Par suite, quand $n$ tend vers $+\infty$ ,

$\begin{align*} u_n&=-\frac{n}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{n^2+n}= \frac{1}{4}+\frac{n}{2}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{4}+\frac{n}{2}\frac{1/n}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+o(1)=\frac{1}{2}+o(1). \end{align*}$ La suite $(u_n)$ converge et a pour limite $\frac{1}{2}$ .

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