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$\left(1+\frac 1n\right)^n - e$.

$\ch^\alpha n - \sh^\alpha n$.

$2\ln(n^3+1) - 3\ln(n^2+1)$.

$\sqrt[n] {n+1} - \sqrt[n] n$.

$\arccos\left(\frac {n^3+1}{n^3+2} \right)$.

$\frac {a^n}{1+a^{2n}}$.

$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+n}}$.

$\frac{(-1)^n}{\ln n}$.

$\frac{1+(-1)^n\sqrt n}n$.

$\frac{2.4.6\dots(2n)}{n^n}$.

$\frac{1!+2!+\dots+n!}{(n+2)!}$.

$\frac{1!-2!+\dots\pm n!}{(n+1)!}$.

$\frac{(-1)^n}{\ln n + \sin(2n\pi/3)}$.

$\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}-1$.

$\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$.

$\frac{(-1)^{[\sqrt n\,]}}n$.

$\frac{(\ln n)^n}{n^{\ln n}}$.

$\frac1{(\ln n)^{\ln n}}$.